課號：522 U1660
班次：
主授教授：伍次寅
學分： 3
課程名稱：混沌力學導論 (Introduction to Chaotic Dynamics)
教科書：1. 'Chaos and Nonlinear Dynamics', 2nd ed., R. C. Hilborn, Oxford Univ. Press, 2000.
2. 'Nonlinear Dynamics and Chaos', S. H. Strogatz, Westview Press, 2000.

課程大綱：

INTRODUCTION TO CHAOS

1. Introduction:
The name of the new science and origin of ‘chaos’. Is chaos a generic or pathological phenomenon?

2. Phenomenology of chaos:
three physical examples (and many others) demonstrating chaotic motions, bifurcations, ‘strange attractors’, fractals, metaphor of ‘butterfly effect’, universality of chaos.

DYNAMICAL SYSTEMS AND ANALYSIS

3. Dynamical systems and state-space dynamics: (in which chaos is dwelt)
Topics include linear and nonlinear stabilities, bifurcations, phase portraits, qualitative theories of dynamical systems.

GENESIS OF CHAOS

4. Routes to chaos: (via which chaotic motions emerge)
Topics include period-doubling bifurcation, quasi-periodicity bifurcation, intermittency, crises, chaotic transient (homoclinic bifurcation).

QUANTITATIVE STUDY OF CHAOS

5. Measures of chaos: (identifying and quantifying chaos)
Fourier spectrum, correlation function, Lyapunov exponent, Poincare section, return-map method.

6. Iterated maps and their complicated dynamics: (a simple yet generic way to generate chaotic motions)
quadratic map, renormalization theory, tent map, Baker’s map, circle map, Henon map, Smale horseshoe map, mathematical definition of ‘strong chaos’, concept of ‘topological equivalency’, hyperbolic intersections and applications of symbolic dynamics, statistical description of chaotic trajectories.

FRACTALS AND APPLICATIONS

7. Fractals: (the most generic way the nature manifests its patterns)
examples of mathematical fractals and physical fractals, self-similarity, fractal dimensions, correlation dimension, generalized dimension of fractal, mono- and multi-fractal, fractal basin boundaries, fractal attractors, Cantor set, Mandelbrot set, Julia set, fractals on everything at everywhere.

8. Advanced topics:
embedding theory, state-space reconstruction technique, nonlinear time-series analysis, synchronization of chaotic motions, chaos control, multifractal, etc.

課程概述：

渾沌現象被一些科學家譽為20世紀物理界三大重要發現之一。渾沌到底是什麼東西？渾沌系統所呈現的行為有何特殊面貌？是什麼原因造成某些系統會產生渾沌運動？渾沌現象果真有令人嘆為觀止之處，還是科學家們溢美之詞？希望同學們修完本課程後會得到滿意的答案。
本課程將以深入淺出之方式介紹渾沌系統與運動。首先，我們以一些簡單的實例來展示及說明渾沌現象。接著，我們將定義所謂的渾沌運動及其所具備的物理特性。由於渾沌運動乃源自於古典力學當中之系統動力學，因此課堂當中會用相當比例的時間來探討線性及非線性動態系統之運動特性及其分析方式，並解釋渾沌運動與非線性動力學之間的關聯及形成渾沌運動的機制。除此之外，渾沌運動在狀態空間中所勾劃之軌跡往往具碎形之特徵，本課程也會對碎形理論及其應用做簡單的介紹。
在處理實際的問題中，系統之數學模式通常是未知的。在一般的情形下我們僅有少數甚或只有一組由實驗或觀察所取得之數據資料，此數據資料稱之為時間序列。因此分析時間序列是瞭解複雜系統行為的重要手段之一。本課程將另外介紹最近一些從系統動態學及渾沌理論所發展出的非線性時間序列分析數值方法及應用程式，俾使同學們除了吸收渾沌理論知識外，也能運用工具來分析處理一些與動態系統相關的實際問題。
近年來，拜電腦軟硬體快速發展之賜，渾沌運動及碎形得以藉由電腦模擬揭開其神秘的面貌。若時間允許，課堂中將會運用簡單的電腦模擬程式在螢幕上以動態方式實際展現出渾沌運動之軌跡及多種碎形幾何形體，以加深同學們的印象並增進對渾沌與碎形的認知。
若要嚴謹剖析渾沌系統及其運動行為需要應用到高深的數學知識及解析技巧。本課程將不會碰觸到這些高深的學問，僅傳授其中一些簡單的分析方法及其應用，目的是讓學生對解析渾沌系統的方法有粗淺的涉獵。渾沌理論應用的範圍非常廣泛。舉凡工程、數學、自然科學、生命科學、醫學、社會科學甚至人文藝術上，只要所欲探討的系統行為是由一群隨時間變化的變數及一些控制參數藉由彼此之間非線性的交互作用所掌控，就有可能會發現渾沌的影子。期待同學們修完本課程後會有所啟發，將課堂上的知識靈活應用至各個領域。
修完本課程後，同學若有興趣可繼續修習高等動力學課程，以獲取更進一步有關系統動力學方面的知識。